Tema 11 :Estadística y probabilidad.

-11.1 :Frecuencias.

·La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite ese dato.

Por ejemplo : 1 2 1 3 1 0 1 2 3 2 1 2 1 3
1 2 2 4 2 2 0 2 2 1 2 1 4 0

Estos números se llaman datos estadísticos.
Si hacemos el recuento de lo datos, se observa que hay 3 personas con 0 hermanos, 9 personas con 1 hermano,etc. Decimos que la frecuencia absoluta del dato 0 es 3 ;la frecuencia absoluta del dato 1 es 9 ,etc.
Si dividimos la frecuencia absoluta de cada dato por el número total de datos recogidos, obtenemos las frecuencias relativas.
La frecuencia relativa de una dato estadístico es el cociente entra la frecuencia absoluta y el número total de datos.
Los datos estadísticos se recogen así:

Datos Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
0 3 3/28 =0,11
1 9 9/28 =0,32
2 11 11/28 =0,39
3 3 3/28 =0,11
4 2 2/28 =0,07
____ _____________
28 1

-11.2.: Diagrama de barras.

En un diagrama de barras los datos se representan en la base de cada barra. La altura de cada una es proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato.

Tema 10 :Longitudes y áreas.

-10.1.: Perímetro de figuras planas.

El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados.

Por ejemplo: Calcula el perímetro de la siguiente figura.



a) Como el perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados,entonces:
Perímetro = 1,5 + 2 + 3 + 2,5 =9 cm

-10.2.: Medidas indirectas: Teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
En general, la hipotenusa mide a, y los catetos miden b y c, se cumple la relación:
a^2 = b^2 + c^2, es decir, h^2 = c1^2 + c2^2

-10.3.: Áreas de figuras planas :Rectángulo.



A = a·b

-10.4.: Figuras planas :Cuadrado.



A = l^2

-10.5.: Figuras planas : Paralelogramo.



A = a· (la medida del triangulo que se ha hecho)

-10.6.: Figuras planas :Triángulo.



A = b·h / 2

-10.7.: Figuras planas :Trapecio.



A = ( B+b / 2 ) ·h

-10.8.: Figuras planas :Polígonos regulares.



A = p·a / 2 · p = perímetro

-10.9.: Figuras planas :Círculo.



A = (pi) · r^2

-10.10.: Figuras planas :Corona circular.



A = (pi) · ( R^2 - r^2 )

-11.11.: Figuras planas :Sector circular.



A = (pi) · r^2 · nº / 360º

Tema 9 :Funciones.

-9.1.: Coordenadas en el plano.

El eje horizontal se llama eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje de ordenadas.
El punto de corte de los dos ejes se llama origen de coordenadas.



·Coordenadas de los puntos del plano.

La primera coordenada se mide sobre el eje horizontal y se llama abscisa del punto. La segunda se mide sobre el eje vertical y se llama ordenada del punto.



-9.2.: Relaciones dadas por tablas.

En una tabla a cada valor de la primera magnitud le corresponde un valor de la segunda. Esta magnitud está en función de la primera o depende de ella.

De la tabla se puede obtener información, como por ejemplo:
a) Entre el cuarto y quinto mes es cuando más crece el feto.
b) Durante el período de gestación aumenta en más de diez veces su tamaño.

Por ejemplo : La tabla muestra el consumo medio de electricidad de una vivienda a distintas horas del día.

Tabla:
Hora del día Consumo (kW/h)
0.00 40
2.00 40
4.00 50
8.00 62
12.00 58
16.00 55
20.00 68

a)¿A qué hora se produce el mayor consumo?
El mayor consumo de produce a las 20.000 horas.
b)¿Hay momentos en los que no varía el consumo?
Sí, de 0.00 a 2.00 horas el consumo no varía.

-9.3.: Relaciones dadas por gráficas.

En una gráfica a cada valor de la magnitud del eje de abscisas le correspone un valor de la magnitud del eje de ordenadas.Esta magnitud depende o está en función de la primera.



Por ejemplo : La gráfica(no es la gráfica del ejercio del libro) muestra la evolución del uso de internet en España en los últimos años.
a) En el año 2001, ¿cuántas personas utilizaban internet?
Lo utilizaban unos 7 millones de personas.
b) ¿En qué año utilizaban internet 9 millones de personas?
En el año 2003.

-9.4.: Relaciones dadas por fórmulas.

La relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una igualdad llamada fórmula.
y = 2x + 1
Esta magnitud depende o está en función de la primera. Una depende de la otra.

-9.5.. Concepto de función.

·Una función es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

·La variable independiente es la que se fija previamente.
·La variable dependiente es la que se deduce de la variable independiente a través de lña función.

Por ejemplo : Halla el valor de la variable dependiente en la fórmula y=3x -1 para los siguientes valores de la variable independiente.
a)x =0
y = 3·0 - 1 =-1
b)x =-2
y =3.(-2)- 1 =-7
c)x=1
y =3·1 =2

-9.6.: Representación gráfica de una función.

1º.Construimos una tabla a partir de los datos que tenemos

Tiempo (min) 0 15 20 35
Distancia (m) 0 1000 1000 0

2º.Representamos los puntos obtenidos colocando el tiempo en el eje horizontal y la distancia a la casa en el eje vertical.


(es un ejemplo de gráfica)

3º.Estudiamos si tiene sentido unir los puntos.En este caso,como el tiempo apsa de forma continua, los puntos se pueden unir.

-9.7.: Función de proporcionalidad directa.

Las funciones cuyas gráficas son rectas que pasan por el origen de coordenadas se llaman funciones de proporcionalidad directa. La fórmula de estas funcionales es de la forma y = m·x, donde m es la razón de proporcionalidad.

Tema 8 :Magnitudes proporcionales.Porcentajes.

-8.1.: Razón y proporción numérica.

·La razón entre dos números a y b es el cociente a/b.

Para relacionar los números 10 y 2, utilizamos el cociente 10/2 = 5.
A este cociente se le llama razón e indica que 10 es 5 veces mayor.

·Los números a.b,c y d forman una proporción si la razón entre a y b es igual a la razón entre c y d.
Se escribe a/b = c/d y se lee ''a es a b como c es a d''.

Por ejemplo :Los números 2,5,8 y 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20, es decir ,: 2/5 = 8/20

-8.2.: Magnitudes directamente proporcionales.

Si dos magnitudes son tales que a doble,triple...cantidad de la primera corresponde doble,triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Por ejemplo : En la taquilla de una cine se expone la siguiente tabla con el precio de las entradas según el número que se compren.

Solución : Si se han recaudado 120 euros, ¿cuántas entradas se han vendido?
Para comprar doble número de entradas se tiene que pagar doble cantidad de euros: al comprar triple número de entradas se pagará el tripli,etc. Por tanto, las magnitudes número de entradas y cantidad que se paga son directamente proporcionales.
Por tanto, 1/5 = x/120 --> x = 120/5 = 24. Se han vendido 24 entradas.

-8.3.: Regla de tres simple directa.

Para aplicar la regla de tres se colocan las cantidades de este modo :
50L ______ 1300g
xL ______ 5200g
Y para resolver esto se hace de este modo :
En 50 L hay 1300 g de sal ----> 50_____1300 ---> x = 50·5200/1300 = 200
En x L habrá 5200 g de sal ---> x _____ 5200 --> x = 50·5200/1300 = 200

-8.4.: Porcentajes o tanto por ciento.

·Un porcentaje o tanto por ciento es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa mediante el símbolo %.

Por ejemplo : 5/25 = x/ 100 ---> x = 20

·Un porcentaje es equivalente a una razón de denominador 100 y también al número decimal correspondiente.

Por ejemplo : el 15% equivale a la razón 15/100 y a 0,15

-8.5.: Cálculo con porcentajes.

·Porcentaje de cantidad.
Para calcular la cantidad que corresponde a un pòrcentaje de otra cantidad, se multiplica esta última cantidad por la razón o por el número decimal equivalente al porcentaje.

POr ejemplo : Las 264 primeras personas que visitaron una exposición representaban el 24% del total de asistentes ese día. ¿Cuántas personas vistaron la exposición?

Solución : Aplicando la regla de tres se tiene:
Asisten 12 personas de cada 100 ---> 12 ____ 100 --> x = 264·100/12 = 2200
Asisten 264 personas de un total de x -> 264 ____ x --- > x = 264·100/12 = 2200
Visitaron la exposición 2200 personas.

Tema 7 :Sistema de medidas.

-7.1.: Unidades de longitud: El metro


-7.2.: Unidades de volumen :El metro cúbico.



-7.3.: Unidades de capacidad y de masa.

Unidad de masa



Unidad de capacidad.

Tema 6 :El lenguaje algebraico.

-6.1.: Letras y números.

·Letras para representar números.
En una expresión con letras,estas pueden representar cualquier número.
El lenguaje algebráico utiliza letras,números y signos de operaciones para expresar informaciones.

Por ejemplo : Un número aumentado en 2. --> a + 2
Un número disminuido en 5. --> c - 5

-6.2.: Expresiones algebraicas.

·Combinación de números y letras.
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas.

Por ejemplo : 5 x a x b^2 x c

-6.3.: Valor numérico de una expresión algebraica.

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la expresión por números determinados y hacer las operaciones indicadas en ella.

Por ejemplo : x =2, y =1
Para x=2, y=1 el valor numérico es: 5·2^2 - 2·1 + 6 =24

-6.4.: Suma y resta de expresiones algebraicas.

Dos expresiones algebraicas son semejantes si sus partes son iguales.
Para sumar o restar expresiones algebraicas es necesario que sean semejantes.
Para sumar su suman los coeficientes y se deja la misma parte literal.
Para restar se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Por ejemplo : 5ab^3 + 2ab^3 = 7ab^3
3a^2b + 2ab = no se puede reducir.

-6.5.: Letras para expresar igualdades e identidades.

·Una igualdad algebraica es una expresión que tiene dos miembros separados por el signo igual (=).

Por ejemplo : 3· (x + y^2) = 3· x + 3 · y^2 se sustituyen las letras por los números que te indique el ejercicio.

·Una identidad algebraica es una igualdad que se verifica para cuaquier valor que se asigne a las letras.

Por ejemplo : x + 5 =7 solo se verifica para x =2. No es una identidad.

-6.6.: Letras para expresar ecuaciones.

·Igualdades numéricas.
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas del mismo valor unidas por el signo igual (=).

Por ejemplo : la expresión 10 + 2 = 8 + 4 es un igualdad numérica.

·¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad con números y letras que expresa una condición que deben cumplir las letras.Las letras se llaman incógnitas.

Por ejemplo : x + 2 = 8 --> x = 8 - 2; x = 6

Para realizar una ecuación hay que juntar peras con peras y manzanas con manzanas.
Es decir, poner las letras con las letras y los números con los números, y cuando se cambian de lugar los números si uno tienen un menos,pues se cambia con signo positivo.
Y se opera así: x + 7 =7 + 12
x =7 + 12 - 7
x =11

-6.7.: Resolución de ecuaciones.

Pra resolver ecuaciones seguimos los siguiente pasos:
1º.Suprimimos los paréntesis.
2º.Eliminamos los denominadores.
3º.Operamos los términos que se puedan para simplificar la expresión resultante.
4º.Aplicamos las reglas de la suma y del producto.

Por ejemplo : 3(x - 7) = 5(x -1) -4x
3x - 21 = 5x - 5 - 4x
3x - 5x + 4x=-5 + 21
-2x = 16
x = 16/2
x= 8

Tema 5 :Números decimales.

-5.1.: Cifras decimales.

Las cifras decimales son las que se encuentran a la derecha de la coma.

Por ejemplo :34 centenas --> 34 x 100 =3400 unidades.
18 milésimas --> 18 x 0,001 =0,018 unidades.

-5.2.: Fracciones y decimales.

·Las fracciones se pueden expresar mediante números decimales.

Por ejemplo :2/5 = 0'4

·Tipos de decimales :
Existen números decimales :
Exactos.Su parte decimal es un número limitado de cifras.
Preiódicos.Su parte decimal contiene un grupo de cifras que se repite indefinidamente.El grupo de cifras que se repite se llama período.
-Período puro.Toda su parte decimal es periódica.
-Período mixto.Hay cifras que no se repiten delante del período.

Por ejemplo : 5/33 =0,15151515...El 1 y el 5 se repite indefinidamente.Es un número decimal período puro.
7/12 =0,583333...El 5 y el 8 no se repiten, pero el 3 se repite indefinidamente.Es un número decimal período mixto.

-5.3.: Suma y resta de números decimales.

Para sumar o restar números decimales :
1º.Escribimos uno debajo del otro,de modo,que coincidan las unidades del mismo orden y la coma decimal.
2º.Sumamos o restamos como si fueran enteros.
3º.En el resultado colocamos la coma debajo de las comas.

Por ejemplo : 5,75
+ 2,50
______
8,35

-5.4.: Multiplicación y división de un número decimal por 10,100,1000...

·Para multiplicar un número decimal por 10,100,1000..., desplazamos la coma hacia la derecha uno,dos,tres...lugares.

Por ejemplo :23,5 x 1000 = 23500

·Para dividir un número decimal por 10,100,1000..., desplazamos la coma hacia la izquierda uno,dos,tres...lugares.

Por ejemplo : 0,987 : 1000 =0,000987

-5.5.: Multiplicación con números decimales.

Para multiplicar dos números decimales :
1º.Multiplicamos como si fueran enteros.
2º.En el resultado,separamos con una coma ,empezando a contar por la derecha,un número de cifras decimales igual a la suma del número de cifras decimales que tienen los dos factores.

Por ejemplo : 0,038
x 1,25
___________
190
76
38
_____________
0,04750


-5.6.: División con números decimales.

Para dividir dos números decimales multiplicamos el dividendo y el divisor por 10,100,1000... de modo que el divisor se transforme en entero. Luego hacemos la división.
La división se temrina cuando se han obtenido tantas cifras decimales com se desea, o cuando se obtiene un resto igual a 0.

Por ejemplo : 1,0987 : 0,052 =21,128